Mathematische Spezialitäten

 

 

 

Was hat es mit dieser Formel auf sich?

In der Community der Mathematiker gilt sie als die schönste Formel, weil sie aus den fünf wichtigsten Zahlen besteht:

0 .. die große Erfindung der Inder für die Mächtigkeit der leeren Menge

1 .. die Einheit, das Ganze, neutrales Element hinsichtlich der Multiplikation

e .. die Eulersche Zahl (2.71828...) eine irrationale und transzendente Zahl:
man hat 1 € und verzinst ihn jährlich mit 100% => (1+1) = 2€

verzinst man halbjährlich mit je 50% => (1+1/2)² = 2,25€

verzinst man vierteljährlich mit je 25% => (1+1/4)4 = 2,44€

...

verzinst man in n gleichen Perioden im Jahr zu 100/n% => (1+1/n)n und das wird für n gegen unendlich die Zahl e.

π .. irrationale und transzendente Zahl: Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises


Komplexe Zahlen sind von der Form z=a+bi , wobei i²=-1; dies kann man auch als (a,b) Punkt in der Ebene zeichnen.

z.B. 2+3i entspricht dem Punkt (2,3) in der sog. Gaußebene.

Stellt man eine komplexe Zahl aber nicht kartesisch sondern in Polarkoordinaten dar, dann wird z mit (r;w) angegeben, wobei r die Entfernung zum Ursprung und w der Winkel zur waagrechten pos. Halbachse.

Damit lautet z=r(cos(w) + i sin(w)) und dafür kann man auch die Exponentialform z=r eiw schreiben.

Demnach hat die Zahl -1 die kartesische Form -1+0i und die Polraform cos(π)+i sin(π) bzw. e =-1 => e +1=0.

Hier wird erklärt, wie man topologisch eine Kugel von innen nach außen wenden kann, ohne sie aufzuschneiden.